法向量叉乘公式

在三维空间中，两个向量的叉乘（也称为外积或向量积）是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量，并且其方向由右手定则确定。具体地，如果 \\（ \\mathbf{n_1} = （a_1, a_2, a_3） \\） 和 \\（ \\mathbf{n_2} = （b_1, b_2, b_3） \\） 是两个三维向量，它们的叉乘 \\（ \\mathbf{n_1} \\times \\mathbf{n_2} \\） 可以通过以下公式计算：

\\[ \\mathbf{n_1} \\times \\mathbf{n_2} = \\left（ n_{12} \\cdot n_{23} - n_{13} \\cdot n_{22}, n_{13} \\cdot n_{21} - n_{11} \\cdot n_{23}, n_{11} \\cdot n_{22} - n_{12} \\cdot n_{21} \\right） \\]

其中 \\（ n_{ij} \\） 表示向量 \\（ \\mathbf{n_1} \\） 的第 \\（ i \\） 个分量和第 \\（ j \\） 个分量的乘积。

这个结果向量的大小可以通过下面的公式计算：

\\[ |\\mathbf{n_1} \\times \\mathbf{n_2}| = | \\mathbf{n_1} | \\cdot | \\mathbf{n_2} | \\cdot \\sin \\theta \\]

其中 \\（ \\theta \\） 是向量 \\（ \\mathbf{n_1} \\） 和 \\（ \\mathbf{n_2} \\） 之间的夹角。

需要注意的是，叉乘不满足交换律，即 \\（ \\mathbf{n_1} \\times \\mathbf{n_2} = - \\mathbf{n_2} \\times \\mathbf{n_1} \\）。

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